1.3

Умова

На тонкому півкільці радіусом $R=10\mathrm{cm}$ рівномірно розподілений заряд з лінійною густиною $\tau =1\frac{\mathrm{nC}}{\mathrm{m}}$. В центрі кривизни півкільця знаходиться заряд $q=20\mathrm{nC}$.

Завдання

Визначити силу $F$ взаємодії точкового заряду та модуль напруженості електричного поля $E$ зарядженого півкільця в цій точці.

Розв’язок

1. Аналогічно до 1.1 та 1.2 сума перпендикулярних складових сили та напруженості дорівнює нулю.
2. Напруженість $d{E}_{\Vert }$, яку створює відрізок кутової ширини $d\phi$:

$$\begin{array}{rl}& dE=d{E}_{\Vert }=k\frac{dq}{R^2}=\frac{k}{R^2}\cdot \cos \phi \cdot \tau Rd\phi \end{array}$$

3. Проінтегруємо загальну напруженість як напруженість двох четвертин кільця:

$$\begin{array}{rl}E& =\frac{2k\tau }{R}{\int }_0^{\pi /2}\cos \phi d\phi =\\ & =\frac{\tau }{2\pi {\epsilon }_{0}R}\cdot \sin \phi {|}_0^{\pi /2}=\\ & \\ & =\frac{\tau }{2\pi {\epsilon }_{0}R}\end{array}$$

4. Тоді сила у точці:

$$\begin{array}{rl}& F=qE=\frac{q\tau }{2\pi {\epsilon }_{0}R}\end{array}$$

5. Підрахуємо:

ε_0=electricConstant
tau = 1nC/m
R = 10cm
q = 20nC
 
E = tau/(2*pi*ε_0*R)
F = E*q
 
format(E,precision=3)="180 V / m"
format(F,precision=3)="3.6e-6 N"

$$\begin{array}{rl}& E=180\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}\\ & F=3.6\mu \mathrm{N}\end{array}$$

Відповідь

$$\begin{array}{rlrl}E& =\frac{\tau }{2\pi {\epsilon }_{0}R}& =& 180\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}\\ F& =qE=\frac{q\tau }{2\pi {\epsilon }_{0}R}& =& 3.6\mu \mathrm{N}\end{array}$$