1.2

Умова

Визначити напруженість електричного поля в центрі рівномірно зарядженої півсфери, якщо поверхнева густина заряду на півсфері $\sigma =3\frac{\mathrm{nC}}{\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2}$.

Розв’язок

1. Розіб’ємо сферу на тонкі кільця, аналогічно до 1.1 сума перпендикулярних складових напруженості дорівнює нулю.

2. Заряд кільця товщини $d\phi$:

$$\begin{array}{rl}& dq=\sigma dS=2\sigma \pi rRd\phi \end{array}$$

3. Тоді напруженість поля $d\vec{E}$, що створюється кільцем:

$$\begin{array}{rl}dE& =k\frac{\cos \phi \cdot dq}{R^2}=|k=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}|=\\ & \\ & =\frac{\sigma rR\cos \phi \cdot d\phi }{2{\epsilon }_0{R}^2}=|r=R\sin \phi |=\\ & \\ & =\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}\sin \phi \cos \phi \cdot d\phi \end{array}$$

4. Оскільки кут $\phi$ змінюється в межах від $0$ до $\frac{\pi }{2}$, проінтегруємо:

$$\begin{array}{rl}E& =\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}{\int }_0^{\pi /2}\sin \phi \cos \phi d\phi =\left|\begin{array}{l}u=\cos \phi \\ du=-\sin \phi \cdot d\phi \end{array}\right|=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}\cdot {\int }_{{\cos }_{\frac{\pi }{2}}}^{{\cos }_0}udu\\ & =\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sigma }{4{\epsilon }_0}\end{array}$$

5. Підрахуємо напруженість:

$$\sigma =3nC/c{m}^2{\epsilon }_0=electricConstanttopF/mE=\sigma /(4\ast {\epsilon }_0)tokV/m$$ $$\begin{array}{rl}& E=3\cdot \frac{10^{-9}}{(10^{-2}{)}^2}\cdot \frac{1}{4\cdot 8.85\cdot 10^{-12}}=847\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{m}}\end{array}$$

Відповідь

$$\begin{array}{rl}& E=\frac{\sigma }{4{\epsilon }_0}=847\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{m}}\end{array}$$

Зауваження

1. 
   • виправлено