1.1

Умова

Тонкий однорідний диск радіуса $R$ заряджений рівномірно з поверхневою густиною $\sigma$.

Завдання

Визначити напруженість $E$ електричного поля у вакуумі:

1. На висоті $h$ над диском на осі симетрії
2. У центрі диска
3. На великій відстані $x\gg R$ від диска

Розв’язок

1. Зобразимо, як мала площадка $dS$ створює напруженість поля $d\vec{E}$ :
2. Оскільки для кожної площадки існує симетрично розташована площадка на іншому боці від осі симетрії, то сума перпендикулярних складових $d{\vec{E}}_{\perp }$ дорівнює нулю.
3. Оскільки площадка мала, заряд $dq=\sigma dS$, що міститься на ній, можна вважати точковим.
4. Тоді такий заряд створює у точці поле

$$\begin{array}{rl}d{\vec{E}}_{\Vert }& =d\vec{E}\cdot \cos \phi =\frac{dq}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}\cdot \cos \phi =\\ & \\ & =\frac{\sigma dS}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}\cdot \cos \phi =\frac{\sigma d{S}_{\perp }}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}=\\ & \\ & =\frac{\sigma r^{2}d\Omega }{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}=\frac{\sigma d\Omega }{4\pi {\epsilon }_0}\end{array}$$

5. $d\Omega$ — тілесний кут, що створюється диском на сфері радіусу $r$:

$$\begin{array}{rl}& \Omega =\frac{2\pi r(r-h)}{r^2}=|r=\sqrt{R^2+h^2}|=2\pi \left(1-\frac{h}{\sqrt{R^2+h^2}}\right)\end{array}$$

6. Тоді напруженість поля, зінтегрувавши $(4)$:

$$\begin{array}{rl}& E=\frac{\sigma \Omega }{4\pi {\epsilon }_0}=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}\left(1-\frac{h}{\sqrt{R^2+h^2}}\right)\end{array}$$

7. Вирахуємо відповіді:

$$\begin{array}{rlrl}& 1.& (h=h)& E=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}\left(1-\frac{h}{\sqrt{R^2+h^2}}\right)\\ & 2.& (h=0)& E=0,\text{адже}\cos \phi =0\to d{\vec{E}}_{\Vert }=0\\ & 3.& (h\gg R)& E=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}\frac{R^2}{2h^2}=\frac{\sigma R^2}{4{\epsilon }_0{h}^2}\text{(за рядом Тейлора)}\end{array}$$

Відповідь

1. $E=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}\left(1-\frac{h}{\sqrt{R^2+h^2}}\right)$
2. $E=0$
3. $E=\frac{\sigma R^2}{4{\epsilon }_0{h}^2}=k\frac{q}{h^2}$