2.2

Умова

Кругла дуже тонка пластинка радіуса $R$, що знаходиться у вакуумі, рівномірно заряджена з поверхневою густиною $\sigma$.

Завдання

Знайти потенціал та напруженість електричного поля на осі пластинки як функцію відстані $l$ від її центру. Дослідити отриманий вираз при $l\to 0$ та $l\gg R$.

Розв’язок

1. З задачі 1.1, напруженість становить $E=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}\left(1-\frac{h}{\sqrt{R^2+h^2}}\right)$.

2. Знайдемо потенціал:

$$\begin{array}{rl}& d\phi =k\frac{dq}{r}=k\sigma \frac{dS}{r}=k\sigma \cdot \frac{2\pi \rho d\rho }{\sqrt{{\rho }^2+h^2}}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}& \phi =2\pi k\sigma {\int }_0^R\frac{\rho }{\sqrt{{\rho }^2+h^2}}d\rho =\frac{\sigma h}{2{\epsilon }_0}\left(\sqrt{1+\frac{R^2}{h^2}}-1\right)\end{array}$$

3. Розглянемо крайні випадки:

$$\begin{array}{rlrl}& 1.& (h=h)& \phi =\frac{\sigma h}{2{\epsilon }_0}\left(\sqrt{1+\frac{R^2}{h^2}}-1\right)\\ & 2.& (h=0)& \phi =\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}\left(\sqrt{h^2+R^2}-h\right)=\frac{\sigma R}{2{\epsilon }_0}\\ & 3.& (h\gg R)& \phi =\frac{\sigma h}{2{\epsilon }_0}\left(\underset{(1+x{)}^n\underset{x\ll 1}{=}1+nx}{\underbrace{\sqrt{1+\frac{R^2}{h^2}}}}-1\right)=\\ & & & \\ & & & =\frac{\sigma h}{2{\epsilon }_0}\left(\frac{1}{2}\frac{R^2}{h^2}\right)=\\ & & & \\ & & & =\frac{\sigma R^2}{4{\epsilon }_{0}h}\end{array}$$

Зауваження

1. 
   • виправлено