3.3

Умова

Металічна кулька радіусу $R=1.5\mathrm{cm}$ має заряд $q=10\mu \mathrm{C}$.

Завдання

Визначити модуль вектора результуючої сили, що діє на заряд, розташований на одній половині кульки.

Розв’язок

1. Усі заряди знаходяться на поверхні кулі та відштохуються один від одного.
2. Розглянемо електричну напруженість тонкого кільця шириною $Rd\phi$ з рисунку (аналогічно до 1.2, сума перпендикулярних складових напруженості дорівнює нулю):

$$\begin{array}{rl}d{E}_{\Vert }& =k\frac{\cos \phi \cdot dq}{R^2}=k\sigma \cos \phi \frac{dS}{R^2}=\frac{k\sigma \cos \phi }{R^2}\cdot 2\pi \rho \cdot Rd\phi =\\ & =2\pi k\sigma \cos \phi \sin \phi d\phi \end{array}$$

3. Тоді повна електрична напруженість, що діє на півкулю, інтегруючи:

$$\begin{array}{rl}& E_{\Vert }=2\pi k\sigma {\int }_0^{\pi /2}\cos \phi \sin \phi d\phi =\pi k\sigma \end{array}$$

4. Тоді результуюча сила, що діє на півкулю:

$$\begin{array}{rl}d{F}_{\Vert }& =E_{\Vert }dq=E_{\Vert }\sigma dS=\pi k{\sigma }^2\cdot 2\pi R\sin \phi \cdot Rd\phi \\ F_{\Vert }& =2k(\pi R\sigma {)}^2=2k{\left(\frac{\cancel{\pi }\cancel{R}q}{4\cancel{\pi }{R}^{\cancel{2}}}\right)}^2=\frac{k{q}^2}{8R^2}=\frac{q^2}{32\pi {\epsilon }_0{R}^2}\end{array}$$

5. Розрахуємо:

$$q=10uCR=1.5cm{\epsilon }_0=electricConstantF=q^2/(32\ast pi\ast {\epsilon }_0\ast R^2)$$ $$\begin{array}{rl}& F_{\Vert }\approx 0.5\mathrm{kN}\end{array}$$

Відповідь

$$\begin{array}{rl}& F=\frac{q^2}{32\pi {\epsilon }_0{R}^2}\approx 0.5\mathrm{kN}\end{array}$$