5.3

Умова

Точковий заряд $q=3.0\mu \mathrm{C}$ знаходиться в центрі сферичного прошарку з однорідного ізотропного діелектрика, діелектрична проникність якого дорівнює $\epsilon =3.0$. Внутрішній радіус прошарку $a=250\mathrm{mm}$, зовнішній $b=500\mathrm{mm}$.

Завдання

Визначити енергію електростатичного поля в діелектричному прошарку.

Розв’язок

1. Об’ємна густина електростатичного поля складає:

$$\begin{array}{rl}& w=\frac{ED}{2}=\frac{\epsilon {\epsilon }_0{E}^2}{2}\end{array}$$

2. Аби знайти енергію електростатичного поля в діелектричному прошарку, необхідно проінтегрувати $w$ від $V(a)$ до $V(b)$:

$$\begin{array}{rl}W& =\frac{\epsilon {\epsilon }_0}{2}{\int }_{V_a}^{V_b}{E}^{2}dV=\frac{\epsilon {\epsilon }_0}{2}{\int }_a^b{E}^2\cdot 4\pi r^{2}dr=\\ & \\ & =\frac{\epsilon {\epsilon }_0}{2}{\int }_a^b{\left(\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0\epsilon r^2}\right)}^2\cdot 4\pi r^{2}dr=\\ & \\ & =\frac{q^2}{8\pi \epsilon {\epsilon }_0}{\int }_a^b\frac{1}{r^2}dr=\frac{q^2}{8\pi \epsilon {\epsilon }_0}\left[\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right]\end{array}$$

3. Обчислимо:

$$q=3uC\epsilon =3{\epsilon }_0=electricConstanttopF/m\pi =pia=250mmb=500mmW=(q^2)/(8\ast \pi \ast \epsilon \ast {\epsilon }_0)\ast (1/a-1/b)$$ $$\begin{array}{rl}& W=27\mathrm{mJ}\end{array}$$