5.2

Умова

Циліндричний конденсатор заповнений двома циліндричними прошарками діелектриків з проникностями ${\epsilon }_1$ та ${\epsilon }_2$. Внутрішні радіуси прошарків дорівнюють відповідно $R_1$ та $R_2>R_1$. Максимально допустима напруженість електричного поля для цих діелектриків дорівнює $E_{1m}$ та $E_{2m}$.

Завдання

За якого співвідношення між величинами $\epsilon$, $R$ та $E_{1m,2m}$ напруженість поля при збільшенні напруги одночасно досягне значень пробою в обох діелектриках?

Розв’язок

1. Нехай $\lambda$ — лінійна густина заряду одночасного пробою, тоді:

$$\begin{array}{rl}& E_{1m}=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0{R}_1{\epsilon }_1},\\ & \\ & E_{2m}=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0{R}_2{\epsilon }_2},\end{array}$$

2. З цих рівнянь можемо вивести співвідношення між величинами $\epsilon$, $R$ та $E_{1m,2m}$, за якого напруженість поля при збільшенні напруги одночасно досягне значень пробою в обох діелектриках:

$$\begin{array}{rl}& \frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0}=\mathrm{const},\to {\epsilon }_1{E}_{1m}{R}_1={\epsilon }_2{E}_{2m}{R}_2\end{array}$$