5.1

Умова

Простір між обкладинками плоского конденсатора заповнений ізотропним діелектриком, проникність $\epsilon$ якого збільшується в перпендикулярному до обкладинок напрямку за лінійним законом від ${\epsilon }_1$ до ${\epsilon }_2>{\epsilon }_1$. Площа кожної обкладки $S$ , відстань між ними – $d$.

Завдання

Знайти:

1. Ємність конденсатора.
2. Об’ємну густину зв’язаних зарядів як функцію $\epsilon$, якщо заряд конденсатора $q$ та напруженість електричного поля $\vec{E}$ в ньому направлена в сторону зростання $\epsilon$.
3. Визначити розподіл напруженості $\vec{E}$, вектора індукції $\vec{D}$ та вектора поляризації $\vec{P}$ в неоднорідному діелектрику.
4. Що можна сказати про джерела та стоки векторів $\vec{E},\vec{D}$ та $\vec{P}$ в об’ємі та на поверхні неоднорідного діелектрика?

Розв’язок

1. Ємність конденсатора $C$

1. Оскільки за умовою задачі діелектрична проникність змінюється лінійно, можемо записати:

$$\begin{array}{rl}& \epsilon (x)={\epsilon }_1+({\epsilon }_2-{\epsilon }_1)\cdot \frac{x}{d},\begin{array}{l}\epsilon (0)={\epsilon }_1\\ \epsilon (d)={\epsilon }_2>{\epsilon }_1\end{array}\end{array}$$

2. Різниця потенціалів між пластинами може бути записана як інтеграл:

$$\begin{array}{rl}\Delta \phi & ={\int }_0^d\vec{E}dx={\int }_0^d\frac{\sigma }{{\epsilon }_0\epsilon (x)}dx={\int }_0^d\frac{\sigma }{{\epsilon }_0\cdot \left({\epsilon }_1+({\epsilon }_2-{\epsilon }_1)\cdot \frac{x}{d}\right)}dx=\\ & \\ & ={\int }_0^d\frac{\underset{A}{\underbrace{\sigma }}}{\underset{B}{\underbrace{{\epsilon }_0{\epsilon }_1}}+x\cdot \underset{C}{\underbrace{\left[\frac{{\epsilon }_0}{d}({\epsilon }_2-{\epsilon }_1)\right]}}}dx,\\ & \\ & \boxed{\int \frac{A}{B+Cx}dx=\frac{A}{C}\ln \left|B+Cx\right|+K,}\\ & \\ \Delta \phi & =\left[\frac{\sigma d}{{\epsilon }_0({\epsilon }_2-{\epsilon }_1)}\ln \left|{\epsilon }_0{\epsilon }_1+\frac{{\epsilon }_0}{d}({\epsilon }_2-{\epsilon }_1)x\right|\right]{|}_0^d=\\ & \\ & =\frac{\sigma d}{{\epsilon }_0({\epsilon }_2-{\epsilon }_1)}\cdot \left[\ln \left|{\epsilon }_0{\epsilon }_2\right|-\ln \left|{\epsilon }_0{\epsilon }_1\right|\right]=\\ & \\ & =\frac{\sigma d}{{\epsilon }_0({\epsilon }_2-{\epsilon }_1)}\cdot \ln \left|\frac{{\epsilon }_2}{{\epsilon }_1}\right|\end{array}$$

3. Тоді можемо записати рівняння для загальної ємности:

$$\begin{array}{rl}& C=\frac{q}{{\phi }_{+}-{\phi }^{-}}=\frac{\sigma S}{\Delta \phi }=\frac{{\epsilon }_{0}S({\epsilon }_2-{\epsilon }_1)}{d\ln \left|\frac{{\epsilon }_2}{{\epsilon }_1}\right|}\end{array}$$

2. Об’ємна густина зв’язаних зарядів $\rho (\epsilon )$

1. Перше знайдемо індукцію:

$$\begin{array}{rl}& \oint \vec{D}dS=q\to D=\frac{q}{S}=\sigma \end{array}$$

як бачимо, $D$ не залежить від $x$. 2. За теоремою Гауса у середовищі:

$$\begin{array}{rl}& {\rho }_{\mathrm{зв}}=-\nabla \cdot \vec{P}\to {\rho }_{\mathrm{зв}}=-\frac{dP(x)}{dx}\end{array}$$

3. Зв’язок між $D$, $E$ та $P$ записується як:

$$\begin{array}{rl}& D={\epsilon }_0\epsilon (x)E(x)={\epsilon }_{0}E(x)+P(x),\\ & \\ & P(x)={\epsilon }_{0}E(x)\cdot [\epsilon (x)-1]=D\cdot \frac{\epsilon (x)-1}{\epsilon (x)}=D\cdot \left(1-\frac{1}{\epsilon (x)}\right),\\ & \\ & P(x)=\sigma \cdot \left(1-\frac{1}{\epsilon (x)}\right)\end{array}$$

4. Звідси можемо знайти густину зв’язаних зарядів:

$$\begin{array}{rl}{\rho }_{\mathrm{зв}}(\epsilon )& =-\frac{dP(x)}{dx}=-(-\sigma )\frac{d}{dx}\frac{1}{\epsilon (x)}=-\frac{\sigma }{{\epsilon }^2(x)}\cdot {\epsilon }^{\prime }(x)=\\ & \\ & =-\frac{\sigma }{{\epsilon }^2(x)}\cdot \frac{{\epsilon }_2-{\epsilon }_1}{d}\\ & \\ & \\ {\rho }_{\mathrm{зв}}({\epsilon }_1)& =-\frac{\sigma }{d}\cdot \frac{{\epsilon }_2-{\epsilon }_1}{{\epsilon }_1^2},{\rho }_{\mathrm{зв}}({\epsilon }_2)=-\frac{\sigma }{d}\cdot \frac{{\epsilon }_2-{\epsilon }_1}{{\epsilon }_2^2},\\ & \\ & {\rho }_{\mathrm{зв}}({\epsilon }_2)>{\rho }_{\mathrm{зв}}({\epsilon }_1),{\rho }_{\mathrm{зв}}(\epsilon )<0\end{array}$$

3. $\vec{D}$, $\vec{E}$ та $\vec{P}$

1. Оскільки $D$ ми знайшли у попередньому розділі, випишемо $P$ та $E$:

$$\begin{array}{rl}& E(x)=\frac{D}{{\epsilon }_0\epsilon (x)}=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}\cdot \frac{1}{{\epsilon }_1+({\epsilon }_2-{\epsilon }_1)\cdot \frac{x}{d}},\\ & \\ & P(x)=\sigma \cdot \left(1-\frac{1}{\epsilon (x)}\right)=\sigma \cdot \left(1-\frac{1}{{\epsilon }_1+({\epsilon }_2-{\epsilon }_1)\cdot \frac{x}{d}}\right)\end{array}$$

4. Стоки та джерела векторів

1. Густина зв’язаних зарядів близ лівої та правої обкладинок становить:

$$\begin{array}{rl}& {\sigma }_{\mathrm{зв}}(0)=-\sigma \left(\frac{{\epsilon }_1-1}{{\epsilon }_1}\right),{\sigma }_{\mathrm{зв}}(d)=\sigma \left(\frac{{\epsilon }_2-1}{{\epsilon }_2}\right),\\ & \\ & \left|{\sigma }_{\mathrm{зв}}(d)\right|>\left|{\sigma }_{\mathrm{зв}}(0)\right|\end{array}$$

2. Об’ємний зв’язаний заряд ${\rho }_{\mathrm{зв}}<0$ одночасно є джерелом для вектора поляризації $\vec{P}$ та стоком для вектора напружености $\vec{E}$.
3. Позитивні вільні заряди біля лівої обкладинки є одночасно є джерелом вектора напружености $\vec{E}$ та стоком для вектора поляризації $\vec{P}$, тоді як негативні вільні заряди біля правої обкладинки — навпаки.