4.1

Умова

Половина простору між двома концентричними обкладинками сферичного конденсатора заповнена однорідним ізотропним діелектриком із діелектричною проникністю $\epsilon$ так, як показано на рис. Заряд конденсатора дорівнює $q$.

Завдання

Визначити залежність модуля вектора напруженості електричного поля між обкладинками від відстані $r$ до центра кривизни цих обкладинок.

Розв’язок

1. На межі розділу діелектрика:

$$\begin{array}{rl}& E_{{\mathrm{vac}}_{\tau }}=E_{{\epsilon }_{\tau }}\to E_{\mathrm{vac}}(r)=E_{\epsilon }(r)=E(r)\end{array}$$

2. Для вектору індукції, в системі СГСЕ:

$$\begin{array}{rl}& {\oint }_{S_r}\vec{D}d\vec{S}={\oint }_{S_{\mathrm{vac}}}{\vec{D}}_{\mathrm{vac}}d\vec{S}+{\oint }_{S_{\epsilon }}{\vec{D}}_{\epsilon }d\vec{S}=4\pi q,\\ & \\ & D_{\mathrm{vac}}={\epsilon }_{\mathrm{vac}}{E}_{\mathrm{vac}}=E(r),\\ & D_{\epsilon }=\epsilon E_{\epsilon }=\epsilon E(r)\end{array}$$

3. Тоді інтегруючи, отримаємо:

$$\begin{array}{rl}& {\oint }_{S_{\mathrm{vac}}}{\vec{D}}_{\mathrm{vac}}d\vec{S}=2\pi r^{2}E(r),\\ & \\ & {\oint }_{S_{\epsilon }}{\vec{D}}_{\epsilon }d\vec{S}=2\pi \epsilon r^{2}E(r),\\ & \\ & {\oint }_{S_r}\vec{D}d\vec{S}=2\pi r^{2}E(r)(\epsilon +1)=4\pi q\end{array}$$

4. Звідси напруженість:

$$\begin{array}{rl}& E(r)=\frac{2q}{r^2(\epsilon +1)}\end{array}$$

5. Якщо $\epsilon ={\epsilon }_{\mathrm{vac}}=1$:

$$\begin{array}{rl}& E(r{)}_{\epsilon =1}=\frac{q}{r^2},\text{дорівнює напруженості точкового заряду}\end{array}$$