3.5

Умова

Нескінченно велика пластина однорідного діелектрика з проникністю $\epsilon$ товщиною $2d$ рівномірно заряджена стороннім зарядом із об’ємною густиною $\rho$.

Завдання

Визначити:

1. Індукцію $\vec{D}(x)$, напруженість $\vec{\mathbf{E}}(x)$, та потенціал електричного поля $\phi (x)$ як функції відстані $x$ до середини пластини (потенціал в середині пластини прийняти рівним нулю); направити вісь $x$ перпендикулярно до пластини.
2. Поверхневу та об’ємну густини зв’язаних зарядів.
3. Пояснити поведінку індукції, напруженості та потенціалу електричного поля при переході через поверхню діелектрика.

Розв’язок

1. $\vec{D}(x)$, $\vec{E}(x)$, $\phi (x)$

1. Через симетрію задачі, індукція буде направлена вздовж осі $x$, відповідно до теореми Гаусса:

$$\begin{array}{rl}& \vec{D}(x)=\rho x{\vec{e}}_x\text{для}\left|x\right|\le d,\\ & \\ & \vec{D}(x)=\rho d{\vec{e}}_x\cdot \mathrm{sign}(x)\text{для}\left|x\right|>d\end{array}$$

2. Напруженість електричного поля пов’язана з індукцією, як:

$$\begin{array}{rl}& \vec{E}(x)=\frac{\vec{D}}{\epsilon {\epsilon }_0}\to \{\begin{array}{lc}E(x)=\frac{\rho x}{\epsilon {\epsilon }_0},& \left|x\right|\le d;\\ E(x)=\frac{\rho d}{{\epsilon }_{\mathrm{vac}}{\epsilon }_0}=\frac{\rho d}{{\epsilon }_0},& \left|x\right|>d\end{array}\end{array}$$

3. Знайдемо потенціал $\phi (x)$ через інтегрування напружености:

$$\begin{array}{rlr}& \phi (x)=-{\int }_0^{x}E(\tilde{x})d\tilde{x}\to \phi (x)=-\frac{\rho x^2}{2\epsilon {\epsilon }_0},& \left|x\right|\le d\end{array}$$

4. Для $\left|x\right|>d$ потенціал становить:

$$\begin{array}{rl}\phi (x)& =-{\int }_0^{d}E(\left|\tilde{x}\right|\le d)d\tilde{x}-{\int }_d^{x}E(\left|\tilde{x}\right|>d)d\tilde{x}=\\ & \\ & =-\frac{\rho d^2}{2\epsilon {\epsilon }_0}-(x-d)\frac{\rho d}{{\epsilon }_0}=\frac{\rho d}{{\epsilon }_0}\left(d-\frac{d}{2\epsilon }-x\right)\end{array}$$

2. Поверхнева ${\sigma }_{\mathrm{зв}}$ та об’ємна ${\rho }_{\mathrm{зв}}$ густини зв’язаних зарядів

1. За теоремою Гаусса у диференціальній формі для вектора поляризації маємо:

$$\begin{array}{rl}& -{\rho }_{\mathrm{зв}}=\nabla \cdot \vec{P}\to {\rho }_{\mathrm{зв}}=(1-\epsilon )\nabla \cdot \vec{E}\end{array}$$

2. Звідси, об’ємна густина зв’язаних зарядів становить:

$$\begin{array}{rl}& {\rho }_{\mathrm{зв}}=\{\begin{array}{lc}\frac{1-\epsilon }{\epsilon }\rho ,& \left|x\right|\le d;\\ 0,& \left|x\right|>d\end{array}\end{array}$$

3. Поді поверхнева густина на границях пластини:

$$\begin{array}{rl}& {\sigma }_{\mathrm{зв}}=-\frac{{\rho }_{\mathrm{зв}}}{2}\cdot \frac{V}{S}=-{\rho }_{\mathrm{зв}}\cdot \frac{2d}{2}=\frac{\epsilon -1}{\epsilon }\rho d\end{array}$$

3. Поведінка $\vec{D}(x)$, $\vec{E}(x)$, $\phi (x)$ при переході через поверхню діелектрика

1. Індукція зберігає тангенціальну складову при переході через поверхню діелектрика. Оскільки в нашому випадку тангенціальна компонента у $\vec{D}$ відсутня — вона є неперервною.
2. Напруженість має стрибок нормальної компоненти при переході через поверхню діелектрика через наявність зв’язаних зарядів.
3. Потенціал є неперервною функцією при переході через поверхню діелектрика.