3.2

Умова

Електричне поле створене рівномірно зарядженим з об’ємною густиною заряду $\rho$ циліндром. Радіус циліндра $R$, довжина нескінченна.

Завдання

Визначити напруженість $E$ поля та потенціал $\phi$ як функцію відстані $r$ від осі циліндра.

Розв’язок

1. Усередині циліндра

1. За теоремою Гауса, потік крізь усяку замкнену поверхню визначається рівнянням:

$$\begin{array}{rl}& \Phi ={\oint }_S{E}_{n}dS=4\pi k{\int }_V\rho dV\end{array}$$

2. Рівномірно заряджений циліндр має осьову симетрію: у будь-якій точці вектор $\vec{E}$ напрямлений радіально, а його модуль залежить виключно від $r$. Отже, потік створюється лише на бічній поверхні циліндра, а отже:

$$\begin{array}{rl}& \Phi =E_n\cdot 2\pi rl(l\to \infty )\\ & \Phi =4\pi k\rho \cdot \pi r^{2}l\end{array}$$

3. З цих рівнянь маємо:

$$\begin{array}{rl}& E=2\pi k\rho r,\phi =2\pi k\rho r^2,(r\le R)\end{array}$$

2. Поза циліндром

1. Для випадку поза циліндром зміниться лише ${\int }_{V}dV$:

$$\begin{array}{rl}& \Phi =E_n\cdot 2\pi rl(l\to \infty )\\ & \Phi =4\pi k\rho \cdot \pi \underline{R^2}l\end{array}$$

2. А отже напруженість:

$$\begin{array}{rl}& E=2\pi k\rho \frac{R^2}{r},\phi =2\pi k\rho R^2(r\ge R)\end{array}$$

Відповідь

$$\begin{array}{rlrlr}& E=2\pi k\rho r,& & \phi =2\pi k\rho r^2,& (r\le R)\\ & & & & \\ & E=2\pi k\rho \frac{R^2}{r},& & \phi =2\pi k\rho R^2,& (r\ge R)\end{array}$$