2.5

Умова

Два коаксіальних кільця з тонкого провідника, кожне радіусом $R$, знаходяться на малій відстані $l$ один від одного ($l\ll R$) та мають заряди $q$ та $-q$.

Завдання

• Визначити потенціал та напруженість електричного поля на осі системи, як функцію координати $x$, якщо початок осі $x$ знаходиться посередині між кільцями.
• Показати на одному рисунку графіки залежностей $\phi (x)$ та $E(x)$.
• Дослідити ці функції у випадку $|x|\gg R$.

Розв’язок

1. Знайдемо повний потенціал з суперпозиції:

$$\begin{array}{rl}& \phi =\frac{kq}{r_{+}}-\frac{kq}{r_{-}}=kq\left(\frac{r_{-}-r_{+}}{r_{-}{r}_{+}}\right)=\left|\begin{array}{l}{r}_{+}=\sqrt{R^2+h_{+}^2}=\sqrt{R^2+{\left(x-\frac{l}{2}\right)}^2}\\ r_{-}=\sqrt{R^2+h_{-}^2}=\sqrt{R^2+{\left(x+\frac{l}{2}\right)}^2}\end{array}\right|\end{array}$$

2. Розкладемо в ряд Тейлора при $l_0=0$ та $R\gg l$:

$$\begin{array}{rl}& f(l)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(l_0)}{k!}(l-l_0{)}^k\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}& r_{+}=\sqrt{R^2+x^2+xl}=\\ & \\ & =\sqrt{R^2+x^2+x{l}_0}+\frac{x}{2\sqrt{x{l}_0+R^2+x^2}\cdot 1!}(l-l_0)+O(x^2)=\\ & \\ & =\sqrt{R^2+x^2}+\frac{xl}{2\sqrt{R^2+x^2}}+O(x^2)\\ & \\ & \\ & r_{-}=\sqrt{R^2+x^2-xl}=\sqrt{R^2+x^2}-\frac{xl}{2\sqrt{R^2+x^2}}+O(x^2)\end{array}$$

3. Підставимо в формулу потенціалу:

$$\begin{array}{rl}& \phi (x)=kq\left(\frac{\frac{xl}{\sqrt{R^2+x^2}}}{R^2+x^2}\right)=kq\frac{xl}{(R^2+x^2{)}^{3/2}}\end{array}$$

4. Для напруженості електричного поля:

$$\begin{array}{rl}& E=-\frac{\partial \phi }{\partial x}=-kql{\left(\frac{x}{(R^2+x^2{)}^{3/2}}\right)}^{\prime }\\ & \\ & \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{x}{(R^2+x^2{)}^{3/2}}\right)=\left|\begin{array}{l}u=x\\ v=\frac{1}{(R^2+x^2{)}^{3/2}}\\ \frac{\partial }{\partial x}(uv)=u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial x}\end{array}\right|=\\ & \\ & =\frac{1}{(R^2+x^2{)}^{3/2}}\frac{\partial x}{\partial x}+x\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{1}{(R^2+x^2{)}^{3/2}}\right)=\\ & \\ & =\frac{1}{(R^2+x^2{)}^{3/2}}+x\cdot \left[-\frac{3}{2(R^2+x^2{)}^{5/2}}\frac{\partial }{\partial x}(R^2+x^2)\right]=\\ & \\ & =\frac{1}{(R^2+x^2{)}^{3/2}}-\frac{3x^2}{(R^2+x^2{)}^{5/2}}=\frac{R^2-2x^2}{(R^2+x^2{)}^{5/2}}\\ & \\ & E(x)=kq\frac{l(2x^2-R^2)}{(R^2+x^2{)}^{5/2}}\end{array}$$

5. Розглянемо випадок $|x|\gg R$:

$$\begin{array}{rl}& \phi (x\gg R)=kq\frac{l}{x^2},E(x\gg R)=2kq\frac{l}{x^3}\end{array}$$

6. Намалюємо графіки:

Відповідь

$$\begin{array}{rlrlrl}& & & \phi (x)=kq\frac{xl}{(R^2+x^2{)}^{3/2}},& & E(x)=kq\frac{l(2x^2-R^2)}{(R^2+x^2{)}^{5/2}}\\ & & & & & \\ & \text{При }\left|x\right|\gg R:& & \phi (x\gg R)=kq\frac{l}{x^2},& & E(x\gg R)=2kq\frac{l}{x^3}\end{array}$$