2.4

Умова

Тонка нескінченно довга нитка має заряд $\lambda$ на одиницю довжини та розташована паралельно безмежній площині з провідника. Відстань між ниткою та площиною дорівнює $l$.

Завдання

Визначити:

1. Модуль вектора сили, що діє на одиницю довжини нитки.
2. Розподіл поверхневої густини заряду $\sigma (x)$ на площині, де $x$ – відстань від площини, що перпендикулярна до електропровідної поверхні та проходить через заряджену нитку.

Розв’язок

1. Визначимо модуль вектора сили, що діє на одиницю довжини нитки

1. Сила, що діє на одиницю довжини нитки, становить:

$$\begin{array}{rl}& F_1=q{E}_1=\lambda \cdot [1\mathrm{m}]\cdot E_1\end{array}$$

2. Визначимо, яку напруженість $E_1$ створює дзеркальний заряд нитки:

$$\begin{array}{rl}& d{E}_{\Vert }=2\cos \phi dE=-2k\lambda \frac{\cos \phi dx}{r^2}\\ & \\ & dx=\frac{d{x}_{\perp }}{\cos \phi }=\frac{rd\phi }{\cos \phi },r=\frac{2l}{\cos \phi }\\ & \\ & d{E}_{\Vert }=-2k\lambda \frac{\cancel{\cos \phi }d\phi }{r\cancel{\cos \phi }}=-\frac{k\lambda }{l}\cos \phi d\phi \\ & \\ & E_{\Vert }=-\frac{k\lambda }{l}\end{array}$$

3. Тоді сила дорівнює:

$$\begin{array}{rl}& F_1=-\frac{k{\lambda }^2}{l}\end{array}$$

4. Мінус означає, що сила притягальна.

2. Знайдемо розподіл поверхневої густини заряду $\sigma (x)$

1. Знайдемо напруженість $E_{\Vert }$ у точці $x$, що її створює заряджена нитка, аналогічо до $1.1$:

$$\begin{array}{rl}& d{E}_{\Vert }(x)=2\cos \phi dE=2k\lambda \frac{\cos \phi dy}{r^{\prime 2}}\\ & \\ & dy=\frac{d{y}_{\perp }}{\cos \phi }=\frac{r^{\prime }d\phi }{\cos \phi },r^{\prime }=\frac{r}{\cos \phi }\\ & \\ & d{E}_{\Vert }=2k\lambda \cancel{\cos \phi }\frac{\cancel{r^{\prime }}d\phi }{\cancel{\cos \phi }{r}^{\prime \cancel{2}}}=2\frac{k\lambda }{r}\cos \phi d\phi \\ & \\ & E_{\Vert }=\frac{2k\lambda }{r}\end{array}$$

2. Тепер знайдемо повну напруженість $E_n$ у точці $x$, що її створюють заряджена нитка та її відображення:

$$\begin{array}{rl}& r=\sqrt{l^2+x^2}\\ & \\ & E_n=2E_{\Vert }\cos \theta =4\frac{k\lambda }{r}\cdot \frac{l}{r}=\frac{4k\lambda l}{r^2}=\frac{\lambda l}{{\epsilon }_0\pi (l^2+x^2)}\end{array}$$

4. Тоді розподіл густини заряду:

$$\begin{array}{rl}& \sigma (x)={\epsilon }_0{E}_n=\frac{\lambda l}{\pi (l^2+x^2)}\end{array}$$

Відповідь

1. $F_1=-\frac{k{\lambda }^2}{l}$
2. $\sigma (x)=\frac{\lambda l}{\pi (l^2+x^2)}$