2.1

Умова

Три однакових заряди ($q_{+}=0.1\mu \mathrm{C}$ кожний) розміщені у вершинах рівностороннього трикутника.

Завдання

Який негативний заряд $q_{-}$ треба розмістити в центрі трикутника, щоб система перебувала в рівновазі? Чи буде ця рівновага стійкою?

Розв’язок

1. Можемо помітити, що незалежно від розміру негативного заряду, сума сил, що діють на нього, дорівнює нулю.
2. Для рівноважної системи достатньо розглянути сили, що діють на один з позитивних зарядів, адже вони розташовані симетрично відносно центру:

$$\begin{array}{rl}& {\vec{F}}_{{+}_{\Vert }}+{\vec{F}}_{-}=0\\ & \\ & 2F_{+}\cos \frac{\alpha }{2}+F_{-}=0\end{array}$$

3. Розпишемо, щоб знайти потрібне $q_{-}$:

$$\begin{array}{rl}& 2k\frac{q_{+}^2}{l^2}\cdot \cos \frac{\pi }{6}+k\frac{q_{-}{q}_{+}}{{\left(\frac{\sqrt{3}l}{3}\right)}^2}=\frac{k}{l^2}\left(\sqrt{3}{q}_{+}^2+3q_{-}{q}_{+}\right)=0\\ & \\ & \sqrt{3}{q}_{+}^2+3q_{-}{q}_{+}=0\to q_{-}=-\frac{q_{+}}{\sqrt{3}}\end{array}$$

4. Підрахуємо:

$$q_{p}lus=0.1uC{q}_{m}inus=-q_{p}lus/sqrt(3)$$

5. Рівновага нестійка за теоремою Ерншоу.

Відповідь

$$\begin{array}{rl}& q_{-}=-\frac{q_{+}}{\sqrt{3}}=-58\mathrm{nC},\text{рівновага нестійка}\end{array}$$