10.5

Умова

Магнетрон – це прилад, що складається катоду (нитки розжарення радіусом $a$ та коаксіального циліндричного анода радіусом $b>a$, що знаходяться в однорідному магнітному полі, паралельному нитці. Між ниткою та анодом прикладена різниця потенціалів $U$, що прискорює електрони.

Завдання

Визначити критичне (найбільше) значення індукції магнітного поля ${\mathbf{B}}_{cr}$, за якого електрони, що вилітають із нитки з нульовою початковою швидкістю, ще будуть досягати анода.

Розв’язок

1. Оскільки магнітне поле парарельне нитці, то $B_x=B_y=0$ та $B_z=B$.
2. Запишемо рівняння руху електрона у циліндричних координатах:

$$\begin{array}{rl}& \frac{d}{dt}m{v}_x=\frac{\left|e\right|V_x}{{\rho }^2\ln \frac{b}{a}}-\left|e\right|B\frac{dy}{dt},\\ & \\ & \frac{d}{dt}m{v}_y=\frac{\left|e\right|V_y}{{\rho }^2\ln \frac{b}{a}}-\left|e\right|B\frac{dx}{dt},\\ & \\ & \frac{d}{dt}m{v}_z=0\to z=0,\end{array}$$

тобто рух електрона обмежений площиною $z=0$. 3. Домножимо перше рівняння на $\frac{dx}{dt}$, а друге — на $\frac{dy}{dt}$ та додамо їх:

$$\begin{array}{rl}& \underset{\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m{v}^2\right)}{\underbrace{\frac{dx}{dt}\frac{d}{dt}m{v}_x+\frac{dy}{dt}\frac{d}{dt}m{v}_y}}=\\ & \\ & =\frac{|e|V}{\rho \ln \frac{b}{a}}\cdot \underset{\frac{d\rho }{dt}}{\underbrace{\frac{1}{\rho }\left(\hat{x}\frac{dx}{dt}+\hat{y}\frac{dy}{dt}\right)}}-\left|e\right|B\cancel{\left(\frac{dx}{dt}\frac{dy}{dt}-\frac{dy}{dt}\frac{dx}{dt}\right)}=\\ & \\ & =\frac{|e|V}{\rho \ln \frac{b}{a}}\cdot \frac{d\rho }{dt}=\frac{d}{dt}\left(\left|e\right|V\cdot \frac{\ln \rho }{\ln \frac{b}{a}}\right)\end{array}$$

4. З цього рівняння можемо виписати:

$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{2}m{v}^2=\left|e\right|V\cdot \frac{\ln \rho }{\ln \frac{b}{a}}+C\end{array}$$

5. Константу інтегрування можна вивести з умови задачі, що $v(a)=0$, а отже:

$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{2}m{v}_a^2=0\to \ln \frac{a}{\tilde{C}}=0\to a=\tilde{C},\\ & \\ & C=-\left|e\right|V\cdot \frac{\ln a}{\ln \frac{b}{a}},\\ & \\ & \frac{1}{2}m{v}^2=\left|e\right|V\frac{\ln \frac{\rho }{a}}{\ln \frac{b}{a}}\end{array}$$

6. Звідси отримуємо обмеження на швидкість при $\rho =b$:

$$\begin{array}{rl}& v=\sqrt{2\frac{\left|e\right|V}{m}}\end{array}$$

7. Якщо ж домножити рівняння з пункту 2 на $\hat{y}$ та $\hat{x}$ відповідно, аби позбутися $V$, та додати їх:

$$\begin{array}{rl}& \frac{d}{dt}[m\cdot (\hat{x}{v}_y-\hat{y}{v}_x)]=\left|e\right|B\underset{\frac{d\rho }{dt}}{\underbrace{\left(x\cdot \frac{dx}{dt}+y\cdot \frac{dy}{dt}\right)\cdot \frac{1}{\rho }}}\cdot \rho \end{array}$$

8. Інтегруючи, маємо:

$$\begin{array}{rl}& m\cdot (\hat{x}{v}_y+\hat{y}{v}_x)=\left|e\right|\frac{B{\rho }^2}{2}+C\end{array}$$

9. Константу інтегрування знайдемо з початкової умови, що $v_a=0$:

$$\begin{array}{rl}& (\hat{x}{v}_y+\hat{y}{v}_x)=\left|e\right|\frac{B{a}^2}{2m}+\tilde{C}=0\to \tilde{C}=-\left|e\right|\frac{B{a}^2}{2m}\\ & \\ & (\hat{x}{v}_y+\hat{y}{v}_x)=\left|e\right|\frac{B}{2m}({\rho }^2-a^2)\ge 0\end{array}$$

10. Тоді при $\rho =b$:

$$\begin{array}{rl}& vb\ge \left|e\right|\frac{B}{2m}(b^2-a^2),\\ & \\ & B\le \frac{2mb}{b^2-a^2}\cdot v\cdot \frac{1}{\left|e\right|}\end{array}$$

11. Використовуючи обмеження швидкості з пункту 7:

$$\begin{array}{rl}& B_{\mathrm{cr}}\le \frac{2b}{b^2-a^2}\sqrt{\frac{2mV}{\left|e\right|}}\end{array}$$