4.2

Умова

Сторонні заряди рівномірно розподілені з об’ємною густиною $\rho >0$ по кулі радіуса $R$ з однорідного ізотропного діелектрика з проникністю $\epsilon$.

Завдання

Знайти:

1. Модуль вектора напруженості електричного поля як функцію відстані від центру кулі; зобразити якісні графіки залежностей $E(r)$ та $\phi (r)$.
2. Об’ємну ${\rho }^{\prime }$ та поверхневу ${\sigma }^{\prime }$ густини зв’язаних зарядів.

Розв’язок

1. $E(r)$, $\phi (r)$

1. За законом Гаусса:

$$\begin{array}{rl}& \nabla \cdot \vec{D}=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}{r}^2{D}_r=\rho \end{array}$$

2. Проінтегрувавши для $r<R$, отримаємо:

$$\begin{array}{rl}& D_r{r}^2=\rho \frac{r^3}{3}+C_1\to D_r=\frac{\rho r}{3}+\frac{C_1}{r^2}\end{array}$$

3. $C_1=0$, адже інакше за $r=0$ індукція $D_r=\infty$:

$$\begin{array}{rl}& E_r=\frac{\rho r}{3\epsilon {\epsilon }_0}\end{array}$$

4. Для $r>R$:

$$\begin{array}{rl}& D_r{r}^2=\frac{\rho R^3}{3}\to D_r=\frac{\rho R^3}{3r^2}\end{array}$$

5. Таким чином, напруженість при $r>R$:

$$\begin{array}{rl}& E_r=\frac{\rho R^3}{3{\epsilon }_0{r}^2}\end{array}$$

6. Розрахуємо потенціал поза кулею:

$$\begin{array}{rl}\phi & =-{\int }_0^{r}E(\tilde{r})d\tilde{r}=\frac{\rho R^3}{3{\epsilon }_{0}r},r\ge R\end{array}$$

7. Тоді потенціал усередині кулі:

$$\begin{array}{rl}& \phi =\phi (0)-{\int }_0^{r}E(\tilde{r})d\tilde{r}=\phi (0)-\frac{\rho r^2}{6\epsilon {\epsilon }_0}\end{array}$$

8. Оскільки потенціал — неперервна функція:

$$\begin{array}{rl}& \phi (R)=\phi (R),\\ & \\ & \frac{\rho R^2}{3{\epsilon }_0}=\phi (0)-\frac{\rho R^2}{6\epsilon {\epsilon }_0}\to \phi (0)=\frac{\rho R^2}{3{\epsilon }_0}\left(1-\frac{1}{2\epsilon }\right)\end{array}$$

9. Намалюємо графіки:

2. ${\rho }^{\prime }$, ${\sigma }^{\prime }$

1. Об’ємна густина зв’язаних зарядів визначається як:

$$\begin{array}{rl}& {\rho }^{\prime }=-\nabla \cdot \vec{P}=-(\epsilon -1){\epsilon }_0\nabla \cdot \vec{E}\end{array}$$

2. Використовуючи вираз для $E(r)$ всередині кулі:

$$\begin{array}{rl}& {\rho }^{\prime }=-(\epsilon -1){\epsilon }_0\cdot \frac{1}{r^2}\cdot \frac{d}{dr}\left(r^2\cdot \frac{\rho r}{3\epsilon {\epsilon }_0}\right)=-\rho \cdot \frac{\epsilon -1}{\epsilon }\end{array}$$

3. Поверхнева густина зв’язаних зарядів на межі діелектрика становить:

$$\begin{array}{rl}{\sigma }^{\prime }& =P_{1_r}-P_{2_r}=P_{1_r}=\frac{\rho R}{3}\left(1-\frac{1}{\epsilon }\right)\end{array}$$