3.4

Умова

Біля пласкої поверхні однорідного діелектрика з діелектричною проникністю $\epsilon$ напруженість електричного поля в вакуумі дорівнює ${\vec{E}}_0$, причому вектор ${\vec{E}}_0$ складає кут $\theta$ з нормаллю до поверхні діелектрика, так, як показано на рис.

Завдання

Вважаючи поле всередині та зовні діелектрика однорідним, визначити:

1. Потік вектора напруженості $\vec{E}$, вектора індукції $\vec{D}$ та вектора поляризації $\vec{P}$ через сферу радіусу $R$ з центром на поверхні діелектрика; зробити висновки про джерела та стоки зазначених векторів;
2. Циркуляцію вектора індукції $\vec{D}$, вектора напруженості $\vec{E}$ та вектора поляризації $\vec{P}$ по контуру $\Gamma$ зі стороною довжиною $l$, якщо площина контуру перпендикулярна поверхні діелектрика та паралельна вектору ${\vec{E}}_0$; зробити висновки про вихори зазначених векторів.

Розв’язок

1. Потоки $\vec{E}$, $\vec{D}$ та $\vec{P}$ через сферу

1. Розкладемо ${\vec{E}}_0$ на перпендикулярну та паралельну складові:

$$\begin{array}{rl}& {\vec{E}}_0={\vec{E}}_{0_{\perp }}+{\vec{E}}_{0_{||}}\end{array}$$

2. У вакуумі потік вектора напруженості через півсферу площі $S_{\mathrm{vac}}$ складає:

$$\begin{array}{rl}{\Phi }_{E_{||}}^{\mathrm{vac}}& ={\int }_{S_{\mathrm{vac}}}{\vec{E}}_{0_{||}}d\vec{S}=0,\\ & \\ {\Phi }_E^{\mathrm{vac}}& ={\Phi }_{E_{\perp }}^{\mathrm{vac}}={\int }_{S_{\mathrm{vac}}}{\vec{E}}_{0_{\perp }}d\vec{S}={\int }_{S_{\mathrm{vac}}}{E}_{0_{\perp }}d(\underset{S_{\perp }}{\underbrace{S\cdot \cos \phi }})=\\ & \\ & =E_0\cdot \cos \theta {\int }_{S_{\mathrm{vac}}}d{S}_{\perp }=\underline{E_0\cdot \cos \theta \cdot \pi R^2}\end{array}$$

3. У системі СГСЕ:

$$\begin{array}{rl}& {\vec{D}}_0={\vec{E}}_0+4\pi {\vec{P}}_0,{\vec{D}}_0={\epsilon }_{\mathrm{vac}}{\vec{E}}_0\to {\Phi }_D^{\mathrm{vac}}\underset{{\epsilon }_{\mathrm{vac}}=1}{=}{\Phi }_E^{\mathrm{vac}}\\ & \\ & {\Phi }_P^{\mathrm{vac}}=0\end{array}$$

4. У діелектрику вектори ${\vec{E}}_1$, ${\vec{D}}_1$ та ${\vec{P}}_1$ будуть напрямлені уздовж синьої стрілки:

• При цьому:

$$\begin{array}{rl}& \frac{\tan {\theta }_1}{\tan \theta }=\frac{\epsilon }{{\epsilon }_{\mathrm{vac}}}=\epsilon >1\end{array}$$

5. Тоді можемо розписати:

$$\begin{array}{rl}& D_{0_n}=D_{1_n},\\ & \\ & {\epsilon }_{\mathrm{vac}}{E}_{0_n}=\epsilon E_{1_n}\to E_{1_n}=E_0\frac{\cos \theta }{\epsilon }\end{array}$$

6. У діелектрику потік напружености буде від’ємним:

$$\begin{array}{rl}& {\Phi }_E^{\epsilon }={\int }_{S_{\epsilon }}{\vec{E}}_{1}d\vec{S}=-\pi R^2{E}_0\cdot \frac{\cos \theta }{\epsilon }\end{array}$$

7. Тоді повний потік напружености крізь поверхню сфери складатиме:

$$\begin{array}{rl}& {\Phi }_E={\Phi }_E^{\epsilon }+{\Phi }_E^{\mathrm{vac}}=\pi R^2{E}_0\cos \theta \left(1-\frac{1}{\epsilon }\right)=\pi R^2{E}_0\cos \theta \left(\frac{\epsilon -1}{\epsilon }\right),\\ & \\ & {\Phi }_E=\pi R^2{\sigma }^{\prime },{\sigma }^{\prime }=E_0\cos {\theta }_1\cdot \frac{\epsilon -1}{\epsilon }\end{array}$$

8. Оскільки $D_{0_n}=D_{1_n}$, а також внаслідок того, що всередині відсутні вільні заряди:

$$\begin{array}{rl}& {\vec{D}}_{0_n}={\vec{D}}_{1_n}\to {\vec{D}}_{0_{\perp }}={\vec{D}}_{1_{\perp }}\\ & \\ & {\Phi }_D={\int }_{S_{\mathrm{vac}}}{\vec{D}}_{0_{\perp }}d\vec{S}+{\int }_{S_{\epsilon }}{\vec{D}}_{1_{\perp }}d\vec{S}=0\end{array}$$

9. Знаючи зв’язок між напруженістю, індукцією та поляризацією, можемо виділити потік вектора поляризації:

$$\begin{array}{rl}& \underset{0}{\underbrace{\oint \vec{D}d\vec{S}}}=\oint \vec{E}d\vec{S}+4\pi \underset{{\Phi }_P}{\underbrace{\oint \vec{P}d\vec{S}}}\\ & \\ & {\Phi }_P=-\frac{R^2}{4}{E}_0\cos \theta \left(\frac{\epsilon -1}{\epsilon }\right)\end{array}$$

10. Позитивні зв’язані заряди на межі діелектрик — вакуум є стоками вектора поляризації.

2. Циркуляція $\vec{E}$, $\vec{D}$ та $\vec{P}$ по контуру $\Gamma$

1. Для циркуляції вектора напружености по контуру $\Gamma$:

$$\begin{array}{rl}& {\oint }_{\Gamma }\vec{E}d\vec{l}=0\\ & \\ & E_{0_{\tau }}l-E_{1_{\tau }}\cdot (-l)=0\to E_{0_{\tau }}=E_{1_{\tau }}\end{array}$$

2. Для циркуляції вектора індукції:

$$\begin{array}{rl}& E_{0_{\tau }}=D_{0_{\tau }},\epsilon E_{1_{\tau }}=D_{1_{\tau }}\text{— на межі присутній вихор вектору індукції}\\ & \\ & \oint \vec{D}d\vec{l}=D_{1_{\tau }}l-D_{2_{\tau }}l=l{E}_0\sin \theta -l\epsilon E_0\sin \theta =l{E}_0\sin \theta (1-\epsilon )\end{array}$$

3. Тоді для вектора поляризації:

$$\begin{array}{rl}& {\oint }_{\Gamma }\vec{D}d\vec{l}=\underset{0}{\underbrace{{\oint }_{\Gamma }\vec{E}d\vec{l}}}+4\pi {\oint }_{\Gamma }\vec{P}d\vec{l},\\ & \\ & \oint \vec{P}d\vec{l}=l{E}_0\sin \theta \frac{1-\epsilon }{4\pi }\end{array}$$