3.1

Умова

Рівномірно заряджена дуже довга нитка, розташована по осі кола радіусом $R$, впирається одним своїм кінцем в його центр. Заряд нитки на одиницю довжини дорівнює $\lambda$.

Завдання

Визначити потік вектора напруженості електричного поля $\vec{E}$ через площу круга.

Розв’язок

1. Для зручности розрахунків розташуємо нитку у від’ємній частині осі $x$, як показано на рисунку.
2. Тоді потік напружености, що створюється частиною нитки довжини $dl$ та проходить через площу $d\vec{S}$, становить:

$$\begin{array}{rl}d\Phi & =dEdS\cos \phi =\frac{kdq}{l^2+r^2}\cdot rd\theta \cdot dr\cdot \frac{l}{\sqrt{l^2+r^2}}=\\ & =k\lambda \frac{rl}{(l^2+r^2{)}^{3/2}}dldrd\theta \end{array}$$

3. Проінтегруємо:

$$\begin{array}{rl}\Phi & =k\lambda {\int }_0^{2\pi }d\theta \cdot {\int }_0^R{\int }_0^{-\infty }\frac{lr}{(l^2+r^2{)}^{3/2}}dldr=\\ & \\ & =2\pi k\lambda {\int }_0^R\frac{r}{\sqrt{r^2}}dr=2\pi k\lambda R\end{array}$$

Відповідь

$\Phi =2\pi k\lambda R$